《数学分析》考试大纲

一、考试形式考试采用闭卷、笔答的考试方式。满分：150分(单科成绩)。考试时间：120分钟。

二、试题难易程度分布较易试题约占50％中等试题约占30％较难试题约占20％

三、题型及题型分值分布单选题约占15％填空题约占25％计算题约占30％证明题约占15％综合题约占15％

四、内容比例第一章  函数与极限约占15％第二章  函数的连续性约占5％

第三章  导数和微分约占15％

第四章  不定积分约占10％

第五章  定积分及其应用约占10％

第六章  无穷级数约占20％

第七章  多元函数的极限与连续约占5％

第八章  多元函数微分学约占5％

第九章  重积分及其应用约占5％

第十章  曲线积分约占10％

五、参考教材

1．华东师大数学系编：《数学分析》，高等教育出版社2001年6月第3版。

2．刘玉琏、傅沛仁编：《数学分析讲义》，高等教育出版社 1992年6月第3版。

3．张筑生编：《数学分析新讲》，北京大学出版社1990年1月第1版。

4．华东师大数学系编：《高等数学》，华东师大出版社2008年3月第2版。

六、考试内容

第一章  函数与极限

一、考核的知识点

1．函数概念。

2．具有某些特性的函数。

3．数列极限。

4．函数极限。

二、考核要求

(一)函数的概念

1．掌握函数的定义、表示法及函数的二要素，掌握定义域和一些函数的值域的求法，掌握函数的复合运算。

2．理解函数的四则运算与反函数的概念，掌握反函数的求法。

3．掌握基本初等函数的定义、性质及图像。

(二)具有某些特性的函数

1．掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数定义，并会用定义判断函数的类别。

(三)数列极限

1．理解数列极限的定义，会运用定义证明较简单的问题。

2．理解数列极限的唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算定理、单调有界定理、柯西收敛准则。会运用这些定理证明较简单的问题。

3．掌握数列极限的计算。 

(四)函数极限

1．理解函数极限的定义，理解函数左、右极限的定义，掌握函数极限limf(x)与相应的左、右极限之间的关系，会运用函数极限的定义证明较简单的问题。

2．理解函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、局部保不等式性。

3．掌握函数极限的四则运算定理、两边夹定理、海涅定理、

柯西准则、两个重要极限：。并

能运用它们求极限。

4．理解无穷小量与无穷大量的定义、性质，掌握无穷小量与无穷大量之间的关系、无穷小量阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。

第二章  函数的连续性

一、考核的知识点

1．连续性的概念。

2．连续函数的性质。

3．初等函数的连续性。

二、考核要求’

(一)连续性的概念

1．理解函数连续的定义。理解函数在点x0。处左、右连续的定义，掌握函数在点x0。处左、右连续与函数在点处连续的关系。理解函数在点x0。处有定义、有极限、连续之间的关系。能正确判断函数的连续区间或间断点，尤其是分段函数在分段点上的连续性。

2．掌握函数间断点的分类。

(二)连续函数的性质

1．理解连续函数的局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，并能运用它们解决有关问题。

2．掌握闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理，根的存在定理，反函数的连续性)及其简单运用。

3．理解一致连续的定义，掌握一致连续性定理。

(三)初等函数的连续性

1．理解基本初等函数都是定义域上的连续函数。

2．理解任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。

第三章  导数和微分

一、考核的知识点

1．导数的概念。

2．求导法则。

3．高阶导数。

4．微分。

5．微分中值定理。

6．导数的应用。

二、考核要求

(一)导数的概念

1．掌握导数的定义、几何意义。掌握左导数、右导数的定义，掌握函数在点x。的左导数、右导数与在点x。导数的存在性之间的关系。

2．理解可导与连续的关系。

(二)求导法则

掌握基本求导公式，并能熟练运用导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则及对数求导法求导数。掌握由参数方程所确定的函数求导数的方法。掌握分段函数求导数的方法。

(三)高阶导数

掌握函数二阶导数及简单函数的三阶以上导数的求法。

(四)微分

1．掌握微分的定义、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则。掌握简单函数高阶微分的求法。

2．理解一元函数可导、可微与连续之间的关系。

(五)微分中值定理

理解费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件和结论，能运用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式。

(六)导数的应用

1．掌握洛必达法则，运用洛必达法则求不定式的极限。

2．了解泰勒公式和麦克劳林公式。

3．掌握函数e“，sinx，COSX，ln(1+x)”的麦克劳林公式，能运用它们求一些简单函数的展开式。

4．掌握运用导数判定函数单调性、极值、最值的方法。

5．掌握运用函数的单调性证明不等式的方法。

第四章  不定积分

一、考核的知识点

1．不定积分概念与基本积分公式。

2．换元积分法与分部积分法。

3．有理函数和可化为有理函数的积分。

二、考核要求

(一)不定积分概念与基本积分公式

理解原函数、不定积分的定义与性质。掌握基本积分表。

(二)换元积分法与分部积分法

掌握第一、第二换元积分法、分部积分法，并能运用它们熟练计算不定积分。

(三)有理函数和可化为有理函数的积分

掌握简单有理函数的积分和部分可化为有理函数的积分的求法。

第五章  定积分及其应用

一、考核的知识点

1．定积分概念。

2．可积的条件，可积函数类。

3．定积分的性质。

4．微积分学基本定理，定积分计算。

5．定积分在几何上的应用。

6．反常积分。

二、考核要求

(一)定积分概念

理解定积分的定义，掌握定积分的几何意义。

(二)可积的条件、可积函数类

理解可积的条件，掌握三类可积函数。

(三)定积分的性质

理解定积分的性质：包括线性性质，有限可加性，单调性和积分第一中值定理，并能运用这些性质解决简单问题。

(四)微积分学基本定理，定积分计算

理解变限积分的定义及原函数存在定理、微积分基本定理，熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。

掌握定积分的换元积分法和分部积分法，熟练计算定积分。

(五)定积分在几何上的应用

会运用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积。

(六)反常积分

理解无穷限反常积分和无界函数反常积分的定义，并运用定义讨论这两类反常积分的收敛性。

第六章  无穷级数

一、考核的知识点

1．数项级数的收敛性。

2．正项级数。

3．一般项级数。

4．幂级数。

二、考核要求 

(一)数项级数的收敛性

1．了解常数项级数的定义。

2．理解常数项级数收敛、发散的定义，了解级数收敛的性质。

3．掌握几何级数和P——级数的敛散性。

(二)正项级数

掌握正项级数收敛性判别法：比较原则、比式判别法、根式判别法。熟练地应用比较原则、比式判别法、根式判别法判别正项级数的收敛性。

(三)一般项级数

1．理解交错级数的定义。会用莱布尼兹判别法判别交错级数收敛。

2．理解绝对收敛、条件收敛级数的定义及性质。

(四)幂级数

1．了解函数项级数的定义。

2．理解幂级数、幂级数的收敛区间、收敛半径、收敛域的定义。

3．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的求法。理解幂级数的性质。

4．运用幂级数在收敛区间内逐项求导、逐项求积的性质求级数的和函数。

5．运用麦克劳林级数、泰勒级数和已知函数ex，sinx， COSX，ln(1十x)，(1  x)’的展开式将函数展开成幂级数。

第七章  多元函数的极限与连续

一、考核的知识点

1．二元函数和n元函数。

2．二元函数的极限。

3．二元函数的连续性。

二、考核要求

(一)二元函数和n元函数

1．了解二元函数的定义，掌握二元函数定义域的求法。

2．了解三元函数、四元函数、…、多元函数的定义。

(二)二元函数的极限

理解二元函数重极限和累次极限的定义，掌握求二元函数的重极限与累次极限的方法。

(三)二元函数的连续性

1．理解二元函数连续的定义，运用定义讨论简单二元函数的连续性。

2．了解有界闭域上连续函数的性质。第八章  多元函数微分学

一、考核的知识点

1．多元函数的偏导数与全微分。

2．复合函数和隐函数的求导法则。

3．多元函数微分学的几何应用。

4．多元函数的极值。

二、考核要求

(一)多元函数的偏导数与全微分

1．理解二元函数的偏导数的定义，了解多元函数的偏导数。

2．掌握二元函数的一阶、二阶偏导数的求法。

3．理解全微分的定义及其存在条件，理解可微、偏导数存在与连续的关系。

(二)复合函数和隐函数的求导法则

1．掌握多元复合函数(最多三元)求偏导数、全微分的方法。

2．掌握隐函数求导数、偏导数的方法。

(三)多元函数微分学的几何应用

掌握平面曲线的切线与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程的求法。

(四)多元函数的极值

掌握二元函数有极值的必要条件、充分条件及求无条件极值、最大值、最小值的方法。

第九章  重积分及其应用

一、考核的知识点

1．重积分的概念与性质。

2．二重积分的计算。

3．重积分的几何应用。

二、考核要求

(一)重积分的概念与性质

理解二重积分的定义与性质、几何意义，了解三重积分的定义。

(二)二重积分的计算，

掌握二重积分的直角坐标、极坐标计算法。

(三)重积分的几何应用

掌握用重积分求空间曲面面积的方法。

第十章  曲线积分

一、考核的知识点

1．第一型曲线积分。

2．第二型曲线积分。

3．格林公式，第二型曲线积分与路径无关的条件。

二、考核要求

(一)第一型曲线积分

1．理解第一型曲线积分的定义和性质。

2．掌握第一型曲线积分的计算方法。

(二)第二型曲线积分

1．理解第二型曲线积分的定义和性质。

2．掌握第二型曲线积分的计算方法。

(三)格林公式，第二型曲线积分与路径无关的条件

掌握用格林公式计算第二型曲线积分的方法。理解曲线积分与路径无关的条件。掌握求户(x，y)dz+Q(x，y)dy的原函数的方法。

七、关于考试内容及要求说明

由于各知识点在课程中的地位、作用及知识自身的特点不同，本考试中将对各知识点分别按四个认知层次确定其考核要求。这四个认知层次从低到高依次是：了解、理解、掌握、运用。它们之间是递升的关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义分别是：

了解：对考试大纲中的知识点有清晰准确的认识并能作出正确的选择和判断。

理解：对考试大纲中的知识点有一定的理解，理解它与有关知识点的联系与区别，并能给出正确的表述和解释。

掌握：是在理解的基础上，会用大纲中各部分少数几个知识点解决简单的计算、证明或应用问题。

运用：是指能够综合运用多个知识点经过分析、计算或推导解决较复杂的问题。

了解、理解、掌握、运用四个认知层次的试题在试卷中所占比例依次约为：5％、45％、30％、20％。