用同余特性解不定方程问题
2017-02-14来源:易贤网

在公职类考试当中,行测数量关系部分一直是广大考生为之头疼的。而且随着考试的发展,不定方程的题目考查越来越多,考生在备考的时候往往因为其解法的多样性而不知如何下手,也会因其解法的不确定性而不知所措。下面下面就这两个问题进行专门的介绍:

一、何为不定方程

不定方程指的是未知数的个数多于独立方程的个数。比如说,2x+y=10,两个未知数,一个方程,我们就称之为不定方程。那什么是独立方程呢?它指的是不能通过未知数系数变化变成同一个方程的。比如说我们再加一个方程,4x+2y=20,它是否可以和2x+y=10构成方程组呢,我们发现,4x+2y=20这个方程通过系数除以2,就变成了和2x+y=10同一个方程,因此,这两个方程其实是同一个方程,也就是只有一个独立方程,那么根据定义我们可以判断,它是一个不定方程。

二、同余特性的性质

第一条:余数的和决定和的余数。

比如,我们求(36+37)÷7的余数,因为36÷7余数是1,37÷7的余数是2,余数的和1+2=3,3再除以7的余数是3,余数的和决定和的余数,所以(36+37)÷7的余数就是3。

第二条:余数的积决定积的余数

比如,我们求(36×37)÷7的余数,因为这两个数除以7的余数分别是1和2,乘积为2,2再除以7余数为2,余数的积决定积的余数,所以(36×37)÷7的余数也为2。

三、例题

例题1:7a+8b=111,已知a,b为正整数,且a>b,则a-b=( )选项为

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】B。解析:要想求出a-b的值,就得知道a和b的值。那我们先来求a ,要想求出a的值,就要消掉8b这一项。消一个元要除以系数本身,即8b除以8余0 ,而111÷8除以8余7,利用同余特性余数的和决定和的余数, 7a÷8余数为7,再利用余数的积决定积的余数,得到a÷8余1。我们再来看b,要想求出b的值就要消掉7a根据消一个元除以系数本身。那么我们就要除以7,7a ÷7余数为零,111÷7余数为6,根据同余特性余数的和决定和的余数,我们得到,8b ÷7余数为6,再利用余数的积决定积的余数,我们得到b÷7余数为6。先来看a,正整数范围内第一个÷8余数为1的数,而题干要求a大于b,而1是最小的正整数,因此a不能等于1 ,下一个÷8余1的数为9,再来看b,正整数范围内第一个除以7余6的数是6,此时,恰好满足a-b都为正整数,且a大于b ,因此a-b等于3 ,结合选项,选择B。

例题2:某公司的6名员工一起去用餐,他们各自购买了三种不同食品中的一种,且每人只购买了一份。已知盖饭15元一份,水饺7元一份,面条9元一份,他们一共花费了60元。问他们中最多有几人买了水饺?

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C。解析:根据题目条件可将购买盖饭人数设为X,购买水饺人数设为Y,购买面条人数设为Z,可列式为15 X +7Y +9Z=60, X、Y、Z都是正整数,求Y,选项为1、2、3、4 ,要想求出Y的值,就要消掉15 X和9Z,根据消两个元就要除以系数的最大公约数, 15和9的最大公约数是3,15X和9Z÷3余数都为0,根据余数的和决定和的余数,7Y÷3余数也为0,再利用余数的积决定积的余数,得到Y ÷3余数也为0。结合选项只能选C。

综上,在利用同余特性求解不定方程中,只要熟练记忆公式,并且掌握其中的解题技巧,将此类题目一一攻下并不是问题。同时,在日常的备考中灵活应对,相信一定可以帮助大家一举成“功”。

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